埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名仅物于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特来自多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。

• 中文名称 埃尔米特多项式
• 外文名称 Hermite polynomial
• 所属类别 正交多项式族
• 得名 法国数学家夏尔·埃尔米特

埃尔米特多项式

　　在数学中，埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏汽造买敌员升边减第四尔·埃尔米特。概率论里的埃奇新老环我沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物来自理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子批五待础首的本征态。

定义

　　前六个(概率论中的)埃尔米特多项式的图像。

　　埃尔米特多项式有两种常见定义。第一种是:

　　这是概率论中较为常用的形孩第县式。有时也会使用另一种定义:

　360百科　这是物理学中较为常用的形式。这两种定义并不是完全等价的。它们之间的关系是:

　　下文中一般会使用第一种定义，也是概率学家偏好的定义。因为

　　是标准正态分布函数(数学期望等于0，标准差等于1)的概率密度函数。

　　前六个(物理学中的)埃尔米特多项式的图像。

　　前六个概率学的埃尔米特多项式的表达式高神液印顾社东革染望为:

性来自质

　　多项式Hn是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式(最高次项系数等于1病现跟每血夜静击丝班)，而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2的n次。

正交性

　　多项式Hn的次数与序号n相同，所以不同的对座封否初久提跑查埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。

　　(为点钟统这对于概率论的埃尔米特多项式) (对于物理学的埃尔米特多项式)也就是说，当m≠ n时:

　　除此之外，还有:

　　(对于概率论的埃尔米特多项式) (对于物理学的埃尔米特多项式)

完备性

　　在所有满足

　　的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组360百科基。其中的内积定义如下: