两类二次矩阵方程的数值求解方法

主要研究来自于物理中质量一弹簧赵系统的一类单边二次矩阵方程的数值求解问题和来自粒子转移理论中的非对称材率防代数Riccati矩阵方程数值求解问题

• 中文名 两类二次矩阵方程的数值求解方法
• 学位授予单位 湖南大学
• 学位级别 博士
• 学位授予年份 2011

　　【摘要】:二次矩阵方程在物理学、材料学、工程学、控制理论和科学计算等诸多领域有着广泛而深刻的应用.对其解的存在性研究和相应的数值求解方法不但在理论上具有重要意义而且在实际应用中也非常有价值.尤其近十几年随着怀因直传令排视岩左设耐计算机的飞速发展,非线性矩阵方程的数值解在工程控制领域和计算数学领域都逐渐发展成为了一个非常热门的课题.本文主要研究来自于来自物理中质量一弹簧系统的一类单边二次矩娘情端律严阵方程的数值求解问题和来自粒子转移理论中的非对称代数Riccati矩阵方程数值求解问题. 在第2章,我们研究来自于质360百科量-弹簧系统的一类单边二次矩阵方程的数值求解问题.我们首先提出这一方程解存在的一个充分条件;其次根据方程系数矩阵的特点,我们提出一种保M-矩阵结构的加倍算法来计算方程的极端解;在适当的条件下,我们还证明该算法的单调收敛性和局部二次收敛性.坏介护节口我们的数值试验说明我们提出的算法要优于带精确线性搜索的牛顿法和伯努利迭代法. 在第3章,我们研究用循环约化算法来求解过阻尼系统产生的单边二次矩阵方程.与现有的二次收敛循众乐怕映雨全输了继环约化算法不同,我们提出一种三次收敛剧引样存棉台师八视的循环约化算法.在过阻尼条件下我们证明所提出算法的适定性和收敛性.数值试验表明属沙起至该算法在方程接近于过阻尼系统的临界状态时将比原来的循环约化算法具有更快的收敛性. 在第4章,我们继续研究循环约化算法的在临界状态过阻尼系统中的收敛性.Guo, Higham和Tisseur在假设临界过阻尼系统中按绝对值大小顺序排列的第n个特征值的部分重数(partial multipl检刚来跟icity)为2的条件下证明了循环约化算法的线性收敛性,而且算法产生的某些矩阵序列收敛于零矩阵.我们首先给出一个例子说明轴似马环临沉送投当上述假设条件不满足时,循环约化算法的收敛性与Guo等的收敛结论并不完全相同,即算法产生的其味富于全位世粉艺盟相应的矩阵序列可以不收室木包娘这这率敛到零矩阵;其次在不需要对第n个的特征值部分重数做任何假设的条件下,我们对一类临界状态过阻尼系统证明循环约化算法的收敛性;最后通过数值试验验证本文的收敛性结果. 在第5章,我们研究来自粒子转移理论中的非对称代数Riccati矩阵方程数值求解问题.我们重新考虑用牛顿法和不动点迭代法来求得这一方程具有物理意义的最小正解.通过注意马学任已饭的减到牛顿法子问题的特殊矩阵结构,我们基于分解的交替方向隐式(Factored Alternating Direction Implicit, FADI)迭代设计一种低记忆低复杂度的牛顿法.随后我们进一步将这一思想拓展到不动点迭代方法的子问题从而提出了两种低记忆低复杂度的不动点迭代法.同时我们还证明这些算法在迭代过程中系组们完促行流数矩阵特征值和迭代点列所具有的良好性质.液善老数值试验表明我们提出的算法能非常有效的求得这一非对称代数Riccati矩阵方程的最小正解.尤其在中等规模和大规模问题中,低记忆低复杂度的牛顿法要优于Bai等提出的NBGS算法待座活着居早可和Bini等提出的快速牛顿法. 此博士论文得到了教育部重大项目(309023)和国家自然科学基金(11071087)的资助. 此博士论文用LATEX2ε软件打印.

　　【关键词】:保结构加倍算法循环约化算法部分重数低记忆低复杂度迭代方法

　　【学位授予单位】:湖南大学

　生司　【学位级别】:博士

　　【学位授予年份】:2011

　　【分类号】:O241.6

　　【目录】:

• 摘要5-7
• Abstract7-11
• 第1章 绪论11-21
• 1.1 概述11-15
• 1.1.1 单边二次通谁居读死析矩阵方程11-14
• 1.1.2 非对称代数Riccati矩阵方程14-15
• 1.2 相关研究进展15-17
• 1.2.1 单边二次矩阵方程的求解极其在二次特征值问题中应用15-16
• 1.2.2 粒子转移理论中非对称代数Riccati矩阵方程的求解方法16-17
• 1.3 创新点及主要内容17-18
• 1.4 本文的各章节安排18-19
• 1.5 记号及基本概念、性垂含云置失找练革练初得质19-21
• 1.5.1 记号19
• 1.5.2 基本概念、性质19-21
• 第2章 求解阻尼系统中单边二次矩阵方程的保M-矩阵结构加倍算法21-32
• 2.1 号帝首引言21-23
• 2.2 保M-矩阵结构加倍算法23-27
• 2.3 保M-矩阵结构加倍算法的局部收敛性27-29
• 2.4 数值试验29-32
• 第3章 求解过阻尼系统中单边二次矩阵方程的三次循环约化算法32-41
• 3.1 引言32-33
• 3.2 三次循环约化算法33-35
• 3.3 三次循环约化算法的适定性和收敛性35-38
• 3.4 数值试验38-41
• 第4章 一类临界状态过阻尼系统循环约化算法的收敛性41-59
• 4.1 引言41-43
• 4.2 一类临界状态过阻尼系统循环约化算法的收敛性43-46
• 4.3 循环约化算法收敛性定理4.2.2的证明46-56
• 4.3.1 加倍算法47-49
• 4.3.2 矩阵V和W的结构49-54
• 4.3.3 定理4.2.2的证明54-56
• 4.4 数值试验56-59
• 第5章 粒子转移理论中一类非对称代数Riccati矩阵方程的低记忆低复杂度迭代方法59-83
• 5.1 引言59-63
• 5.2 分解的交替方向隐式迭代方法63-64
• 5.3 低记忆低复杂度牛顿-FADI迭代方法64-67
• 5.4 低记忆低复杂度不动点-FADI迭代方法67-71
• 5.5 极端特征值和最优ADI参数的计算方法71-72
• 5.6 记忆成本和计算复杂度72-73
• 5.7 迭代性质73-77
• 5.8 数值试验77-83
• 结论83-85
• 参考文献85-93
• 致谢93-94
• 附录A 攻读学位期间完成和发表的学术论文目录94