谱综合

谱综合，又院亚歌张治你括钱厚称调和综合，是一个与谱分析(或称调和分析)相对立的概来自念，它是调和分析与代数呢样的理想理论中一个具有非常综合性的研究课题。通常所说的谱综合是研究局部紧交换群G上，l∞(G)中哪些元素可360百科以由它的谱经过某种方法"综合"出来。

正文

　　又称调和综合，是一个与谱分析(来自或称调和分析)相对立的概念，它是调和分360百科析与代数的理想理论中一个具有非常综合性的研究课题。

　　谱分析与谱综合的原始含义如下:设()是一个周期振动的量,它可用圆周群上的函数来描述奏电，实验指出这样的振动往往由一个基频及其整数倍频的简谐振动叠加而成,定出的简谐振动分量的过程称为谱分析。熟知的傅里叶展开便是这一过程，的傅里叶系数不为0的点集称为的谱集。相反的过程是由的分量复合出自己，这个过程就叫谱综合。对∈(),1≤≤∞，各种各样的傅里叶级数求和法便实现量控了谱综合。因此从其原始含义说来，谱综合与谱分析都不是很复杂的概念。但现在所谓的谱综合已经演变成一个既概括又抽象，并且很有发展前途的研究课题。

　　通常所说的谱综合是研究局部紧交换群上，()中哪些元素可以由它的谱经过某种方法"综孔训坏造球增统留在合"出来;或者等价地说是止前民指研究()的哪些闭理想能被的对偶群弿中的一个闭子集完全决定。

　　关于()的谱综合 这里()不是指所有本性有界函数的集合赋极大模的空间,而是同一集合赋弱拓扑的空间。先对∈定义谱集的概念。粗略而言,的谱集就是抭(表示傅里叶变换)的支集。更确切一些的定义提是:设是()的闭平移不变子空间，既然弿是由上有界函数构成的，则弿 ∩有意义,记它为∑(),并称之为的谱集。对任意∈()，记【】为由生成的除剧闭平移不变子空间,简记∑(【】)为∑(),并称它为的谱集。如果能被∑()中的元素的线性组合逼近，则每视个∈【】亦然。这时,集合确等育有呀∑()(它是弿 中一个闭般总数知她她格集)完全决定了()器布蒸计中的闭平移不变子空间【】。所谓()的谱综合便是研究()的办哪些闭平移不变子空间可被弿的一个闭集完全决率及胡工流另定。它的一个特殊情形是研究怎样的∈()能被∑()中元素的线性组合逼近。可以证明如果()中的傅里叶变换是函数或测度,则上面定翻义的谱集∑()就是的傅里叶变换的支集。这种情况下,谱集与谱综合概念就回到了它们的原始理解。

　　关于()的谱综合 设是()的任意一个闭理想，永建村帝握阿际态飞互盟令

　　(1)

　　()的谱综合便是研究怎样的可以由()(它是弿中一个闭集)完全决定。或者等价地说,是研究弿的哪些闭集是惟一闭理准啊环喜介宗总案马居胞想的()。注意,任意闭集嶅弿总至少是一个闭理想的傅里叶变换的公共零点集。例如

　　便是一个以为傅里叶变换的公共零点集的闭理想(即等式=担等(())恒成立)。同时胞住,在的一个邻域上为0}阻四("-"表示闭包)也是以为傅里叶变换的公共零点集的闭理想,并且()是最大的，()是最小的。()的谱综合也可以说是研究对怎样的有()=()。满足这个性质的称为谱综合集。如果所有闭集嶅弿 都是谱综合集，则称()的谱综合成立。

　　()与()的谱综合的等价 可以证明对任意闭集嶅弿，存在惟一闭理想嶅()使()=,当且仅当存在惟一闭平移不变子空间嶅()使∑()=。这就是说，()与()的谱综合是等价的。

　　谱综合的已知重要结果 对所有紧群,谱综合是成立的。但对非紧群,情况要复杂得多。40年代末期，L.施瓦尔茨第一个举例说明()的谱综合不成立，他指出中单位球面不是谱综合集。约10年后，P.马利阿温一般地证明了()的谱综合当非紧时是不成立的。

　　C.H.赫茨举出了中谱综合集的许多例子，V.A.迪特金给出了弿 中闭集是谱综合集的充分条件。作为这个充分条件的推论,得知()中除了自己以外不可能有别的闭理想使其傅里叶变换无公共零点(概括而言此即"空集是谱综合集")。值得提出的是，这个推论包含了著名的N.维纳的陶伯定理:如果∈(),∈()满足弮()≠0，对一切任意∈弿，并且

　　， (2)

　　则对一切任意∈()，当用代替时，式(2)仍成立。此外,沿着()的谱综合方向,A.博灵有一系列的工作。例如，他指出对非零的∈()，∑()是非空的。这正是"空集是谱综合集"的另一种说法。

　　谱综合的其他等价提法和推广 谱综合还有一个常见的等价提法是用拟测度的语言。()的傅里叶变换的集合记为(弿),其中的元素就称为弿上的拟测度。()的傅里叶变换的集合(弿 )是一个巴拿赫代数，作为一个巴拿赫空间,其对偶空间正是由(弿)的元素构成的。因此可以在(弿)中赋弱拓扑。谱综合的另一种提法就是研究怎样的∈(弿)可以被由的支集中的点支撑的点测度的线合组合弱逼近。这种提法实际上是使用傅里叶变换将()的谱综合的提法的改装。类似地,也可用傅里叶变换概念将()的谱综合提法改装。()的谱综合提法还可推广到对任意正则交换巴拿赫代数。对这样的的谱综合是研究的怎样的闭理想可以被的极大理想空间的一个闭集完全决定;这等价于说,怎样的可以表为正规极大理想的交(式(1)最右边的表示便是正规极大理想的交);也等价于说，怎样的使得

　　I=ker(hull(I));

　　也等价于说的怎样的闭集是的惟一理想的盖尔范德变换的公共零点集。